GIẢI BÀI TOÁN VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG TRONG KỲ THI TOÁN QUỐC TẾ IMSO 2019

Topic 62. PERFECT SQUARES

Problem:Find all positive integers n such that (n! + 2019) is a perfect square. (Here we define n! = 1 × 2 × 3 × … × n.)

Dịch đề:Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho số (n! + 2019) là số chính phương. (Ở đây n! = 1 × 2 × 3 × … × n.)

Lời giải:

Cách 1.Dựa vào nhận xét một số khi chia cho 4 dư 3 không là số chính phương.

Do 2019 chia cho 4 dư 3 nên với n lớn hơn hoặc bằng 4 thì n! = 1 × 2 × 3 × 4 ×… × n chia hết cho 4 và (n! + 2019) chia cho 4 dư 3 nên không là số chính phương.

Thử trực tiếp với n = 1, 2, 3, chỉ có với n = 3 thì n! + 2019 = 2025 =45²

Cách 2. Dựa vào nhận xét một số có 2 chữ số lẻ tận cùng không là số chính phương.

Nếu n lớn hơn hoặc bằng 5thì n! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 … × n có 2 chữ số tận cùng là y0 trong đó y là chữ số chẵn nên (n! + 2019) có 2 chữ số lẻ tận cùng nên không là số chính phương.

Thử trực tiếp với n = 1, 2, 3, 4, chỉ có với n = 3 thì n! + 2019 = 2025 =45²

Cách 3. Dựa vào nhận xét một số chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9 thì không là số chính phương.

Nếu n lớn hơn hoặc bằng 6 thì n! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6… × n chia hết cho 9. Do 2019 chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9 nên với n lớn hơn hoặc bằng 6 thì (n! + 2019) chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9, nên không là số chính phương.

Thử trực tiếp với n = 1, 2, 3, 4, 5, chỉ có với n = 3 thì n! + 2019 = 2025 =45²

Solution:

Method 1.A perfect square cannot leave a remainder of 3 when divided by 4.

Note that when n>=4, n! = 1 × 2 × 3 × 4 × … × n is divisible by 4, and 2019 leaves a remainder of 3 when divided by 4. Hence, when n ³ 4, (n! + 2019) cannot be a perfect square.

Try n = 1, 2, 3. Only n = 3 satisfies the given condition: 3! + 2019 = 2025 = 45².

Method 2.The last two digits of a perfect square cannot be both odd.

When n>= 5, the last two digits of n! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 … × n will bey0. Hence, (n! + 2019) will end with two odd digits and thus cannot be a perfect square.

Try n = 1, 2, 3, 4. Only n = 3 satisfies the given condition: 3! + 2019 = 2025 = 45².

Method 3.A number that is divisible by 3 but not by 9 cannot be a perfect square.

When n>= 6, n! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6… × n is divisible by 9. Since 2019 is divisible by 3 but not by 9, when n>= 6, (n! + 2019) will also be divisible by 3 but not by 9 and thus cannot be a perfect square.

Try n = 1, 2, 3, 4, 5. Only n = 3 satisfies the condition: 3! + 2019 = 2025 = 45².